Einseitig eingespannter Träger

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Kraftgrößenverfahren
Einseitig eingespannter Träger
Das System
Angabe Ein Träger mit der Länge l wird über seine gesamte Länge mit einer Streckenkraft q belastet. Am linken Auflagerrand befindet sich der Punkt a und am rechten der Punkt b. Das System ist 1-fach statisch unbestimmt, deshalb können die vorhandenen Auflagerkräfte nicht durch die 3 Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.

Statisch bestimmtes Ersatzsystem
Das Ersatzsystem Der erste Schritt ist das Herstellen eines statisch bestimmten Ersatzsystems. Dafür müssen wir in diesem Fall eine Auflagerreaktion 'entfesseln'. Hierfür gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten. Hier ersetzen wir die Auflagerkraft BV durch die Kraft X1. Den Betrag der Kraft setzen wir 1. Somit ist dieses System unbeweglich und statisch bestimmt.

Lastspannungszustand
Durchbiegung durch die Belastung Nun betrachten wir das System wie es sich unter der ursprünglichen Belastung verformt. Der Punkt b wird um den Betrag db0 (delta b0) nach unten verschoben. Der erste Index (b) bezeichnet den Ort und der Zweite (0) die Kraft bzw. die Ursache der Verschiebung. Der Lastspannungszustand erhält immer den Index 0.

Lastspannungszustand
Durchbiegung durch die ursprüngliche Belastung Die Durchbiegung db0 entnehmen wir vorerst mal einem Tabellenwerk (z.B. Schneider Bautabellen), später werden wir diese Formel noch selber herleiten.

Eigenspannungszustand
Der Eigenspannungszustand Nun betrachten wir wie stark unsere angebrachte Kraft 1 den Träger nach oben biegt. Da diese Kraft ursprünglich vom System (Auflager) stammt nennt man dies den Eigenspannungszustand. Bei n-fach statisch unbestimmten Systemen gibt es n Zustände. Da dies der erste ist, erhält dieser den Index 1 folglich heißt die Verschiebung des Punktes b hier db1.

Eigenspannungszustand
Durchbiegung des Eigenspannungszustandes Wieder entnehmen wir die Formel aus einem Tabellenwerk. ACHTUNG! Negatives Vorzeichen, da der Träger in anderer Richtung wie durch q verschoben wird.

Verträglichkeitsbedingung
Verschiebung an der Stelle b = 0 Da am Punkt b durch das vorhandene Auflager keine Verschiebung stattfinden kann muss sich die Verschiebung durch die Belastung q mit der aus X1 aufheben. Also X1 mal die Verschiebung aus der Kraft 1 PLUS die Verschiebung durch q ist null.

Lösung

Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung

nach X1 aufgelöst

 Durch Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung erhalten wir dann schließlich den Wert für X1. Da dies den Wert 1 hatte ist dies zugleich der Wert für BV. Nun gibt es nur noch 3 unbekannte Auflagerreaktionen, welche, wie schon bekannt, mit Hilfe der 3 Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können.

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