Druckversion: Beispiel: Einfeldträger unter Punktlast

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Statisch bestimmte Systeme
Einfeldträger unter Punktlast
Das System
Das statische System

Ein Einfeldträger mit einem festen und einem verschieblichen Lager und der Länge l wird mit einer Punktkraft P belastet. Die Lage der Kraft ist durch die Längen a und b bestimmt. (a+b=l)
Wir bezeichnen das Auflager links mit A und rechts mit B.



Gesucht
Die Auflagerreaktionen

AH
AV
BV


Die Bedingungen
SH=0
SV=0
SM=0

Als 2. Schritt stellen wir die vorhandenen bzw. benötigten Bedingungen dar. Da wir in unserem System kein Gelenk haben, schreiben wir nur die 3 Gleichgewichtsbedingungen auf.
Die Summe der Momente, der horizontalen und der vertikalen Kräfte ist null.



Die Kräfte
Alle am System angreifenden Kräfte

Jetzt machen wir uns Gedanken über die Auflagerkräfte. Welche Kräfte können von unseren Auflagern aufgenommen werden. Wir bezeichnen die horizontalen Auflagerkräfte mit dem Index H und die vertikalen Kräfte mit V.



Die Berechnung - horizontales Gleichgewicht
SH=0
AH=0

Nun bilden wir das horizontale Gleichgewicht. Die Summe aller horizontalen Kräfte ist 0. Da AH die einzige horizontale Kraft ist, folgt:

AH=0



Die Berechnung - vertikales Gleichgewicht
SV=0
AV+BV-P=0

Die Summe aller vertikalen Kräfte ist 0. Alle Kräfte die von unten nach oben wirken, sind positiv. Deshalb bekommt die Kraft P ein negatives Vorzeichen.



Die Berechnung - Momenten Gleichgewicht
SMA=0
p×a - BV×l =0

Die Summe aller Momente, die um den Punkt A drehen, ist null. Rechtsdrehende Momente bekommen ein positives Vorzeichen.
Das Moment ist Kraft mal Abstand. Da AH und AV direkt durch den Punkt gehen, erzeugen diese auch kein Moment.



Die Berechnung - Umformen
P×a-BV×l=0
BV=(P×a)/l

Formt man nun diese Gleichung um, erhält man schon die Auflagerkraft BV.



Die Berechnung - Einfügen
AV+BV-P=0
BV=(P×a)/l
AV+[(P×a)/l]-P=0
AV=P-(P×a)/l

Durch das Einfügen des Wertes für BV in die Gleichung der vertikalen Summen, erhält man schließlich die Kraft AV.



Das Ergebnis
AH=0
AV=P-(P×a)/l
BV=(P×a)/l

Da es in der Statik auch sehr komplizierte Systeme gibt, sollte man jedes Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Dafür setzen wir a=0. dies würde bedeuten, dass die Kraft auf dem Auflager A stehen würde. Es müsste dann die gesamte Kraft P direkt ins Auflager gehen.
Das Einsetzen ergibt für a=0, AV=P



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