Druckversion: Beispiel: Einfeldträger unter Streckenlast

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Statisch bestimmte Systeme
Einfeldträger unter Streckenlast
Das System
Das System

Ein Einfeldträger mit einem festen und einem verschieblichen Lager und der Länge l wird mit einer Strecken-/ Linienlast belastet. Die Last erstreckt sich gleichmäßig über die gesamte Länge l.
Wir bezeichnen das Auflager links mit A und rechts mit B.



Gesucht
Gesucht - Auflagerreaktionen
AH
AV
BV


Die Bedingungen
SH=0
SV=0
SM=0

Die Gleichgewichtsbedingungen sind wie vorher:
Die Summe der vertikalen, horizontalen Kräfte und der Momente ist null.



Die Kräfte
Am System angreifenden Kräfte

Wie schon beim vorherigen Beispiel tragen wir jetzt wieder alle am System angreifenden Kräfte an. Alle horizontal angreifenden Auflagerkräfte bekommen den Index H und alle vertikalen den Index V.



Die Umformung
ersetzte Streckenlast

Der einzige Schritt der vom ersten Beispiel abweicht ist das Umformen der Streckenlast in eine Punktlast. Der Betrag der Ersatzkraft ist p×l. Der Angriffspunkt ist l/2.
Die Auflagerkräfte werden nun mit Hilfe dieser Ersatzkraft ermittelt. Vorgegangen wird genau so wie im vorherigen Beispiel.



Die Berechnung - horizontales Gleichgewicht
horizontales Gleichgewicht
SH=0
AH=0

Die Summe aller horizontalen Kräfte ist null. Da AH die einzige horizontale Kraft ist, folgt AH=0.



Die Berechnung - vertikales Gleichgewicht
vertikales Gleichgewicht
SV=0
AV+BV-(p×l)=0

Die Summe aller vertikalen Kräfte ist null. Alle Kräfte, die von unten nach oben wirken sind positiv.



Die Berechnung -Momente
SMA=0
(p×l×½l)-(BV×l)=0

Die Summe aller Momente, die um den Punkt A drehen, ist null. Rechtsdrehende Momente bekommen ein positives Vorzeichen.
Das Moment ist Kraft mal Abstand. Da AH und AV direkt durch den Punkt gehen, erzeugen diese auch kein Moment.



Die Berechnung - Umformen
(p×l×½l)-(BV×l)=0
BV=½(p×l)

Formt man nun diese Gleichung um, erhält man die Auflagerkraft BV.



Die Berechnung - Einfügen
AV+BV-(p×l)=0
BV=½(p×l)
AV+½(p×l)-(p×l)=0
AV=½(p×l)
 

Durch das Einfügen des Wertes für BV in die Gleichung der vertikalen Summe, erhält man schließlich die Kraft AV.



Das Ergebnis
AH=0
AV=½(p×l)
BV=½(p×l)

Da keine horizontalen Kräfte am System angreifen, ist AH null.
Als Kontrolle betrachten wir nun die Auflagerkräfte. Da die Linienlast über die ganze Länge gleichmäßig wirkt, müssen AV und BV gleich groß sein.



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